Ôn tập Toán Lớp 1 - Cấu tạo số tự nhiên (Có lời giải)

 1 
 § 1. CẤU TẠO SỐ TỰ NHIÊN 
Bài 1: 
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu lấy chữ số hàng chục chia cho chữ số hàng 
đơn vị thì được thương là 2 dư 2, chữ số hàng trăm chia cho chữ số hàng đơn vị thì được thương là 2 
dư 1. 
 Hd: 
+ Gọi số cần tìm là abc , (a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, a khác 0). 
Ta có: b = c 2 + 2. Chữ số hàng đơn vị phải lớn hơn 2 ( vì số dư là 2). Chữ số hàng đơn vị 
cũng không thể lớn hơn 3 (vì nếu chẳng hạn bằng 4 thì b = 4 x 2 + 2 = 10). Vậy suy ra c = 3. 
+ Ta thấy: b = 3 x 2 + 2 = 8. Theo đề bài ta lại có: a = c x 2 + 1 = 3 x 2 + 1 = 7. 
Thử lại: 8 = 3 2 + 2; 7 = 3 2 + 1. 
Bài 2: 
 Tìm một số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì 
được 2000. 
 Hd: 
 + Giả sử số đó là 10,,,0;0, dcbaaabcd 
Theo đề bài ta có 2000 - abcd = a + b + c + d hay 2000 – (a + b + c + d) = abcd . 
Lập luận để có ab = 19. 
+ Từ đó tìm được c = 8 và d = 1. 
Thử lại: 2000 – 1981 = 1 + 9 + 8 + 1 = 19. 
Vậy số cần tìm là 1981. 
Bài 3: 
Tìm số tự nhiên A có 2 chữ số, biết rằng B là tổng các chữ số của A và C là tổng các chữ số 
của B, đồng thời cho biết A = B + C + 51. 
 Hd: 
+ Giả sử A = ab , 0;0 , 10a a b . 
Lập luận để có C là số có một chữ số c nên 51 cbaab hay 519 ca 
Từ 519 ca lập luận để có a = 6. 
+ Từ a = 6 tìm được c = 3. 
Nên số phải tìm là b6 . Xét lần lượt 60, , 69 ta thấy chỉ có 66 là cho kết quả c = 3. Thử lại: 
12 + 3 + 51 = 66. 
Vậy 66 là số cần tìm. 
Bài 4: 
Tìm một số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng khi chia số đó cho hiệu của chữ số hàng chục và 
chữ số hàng đơn vị thì được thương là 15 và dư 2. 
 Hd: 
+ Gọi số phải tìm là )10,;0(, baaab 
Theo đầu bài ta có ab = (a – b) 15 +2 
Hay b 16 = a 5 + 2 
Nếu a lớn nhất là 9 thì a 5 + 2 lớn nhất là 47. 
Khi đó b 16 lớn nhất là 47 nên b lớn nhất là 2 (vì 47 : 16 = 2 dư 15) 
 + Vì a 5 + 2 0 nên b 0. 
 b = 1 thì a = 14 : 5 (loại) 
 b = 2 thì a = 6. 
 2 
Thử lại. (6 – 2) 15 + 2 = 62. 
Số phải tìm là 62. 
Bài 5: 
Tìm một số có 2 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì được 
thương là 5 dư 12. 
 Hd: 
+ Gọi số phải tìm là ab , ( 0 a, b < 10, a 0). 
Ta có ab = 5 (a + b) + 12, với a + b > 12. 
Sau khi biến đổi ta có: 5 a = 4 b + 12. 
+ Vì 4 b + 12 chia hết cho 4 nên : 5 a chia hết cho 4 , suy ra a = 4 hoặc a = 8, thay vào 
ta tìm được a = 8. Thử lại thấy thoả mãn. 
Kết luận: Số phải tìm là 87. 
Bài 6: 
Tìm một số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho tổng các chữ số của nó thì 
được thương là 11. 
 Hd: 
+ Gọi số cần tìm là abc , (a, b, c là các chữ số từ 0 đến 9, a khác 0). 
 ( ) 11abc a b c (theo bài ra) 
 100 10 11 11 11a b c a b c (cấu tạo số và nhân một số với một tổng) 
 89 10a b c (cùng bớt đi 11 10a b c ) 
 89 1, 89 198a cb a cb abc 
Bài 7: 
Tìm số chia và thương của một phép chia có dư mà số bị chia là 5544, các số dư lần lượt là 
10, 14 và cuối cùng là 9. 
Hd: 
- Lập luận để có thương là số có 3 chữ số, còn số chia là 
số có 2 chữ số. 
- Mô phỏng quá trình chia: 
- Tìm 3 tích riêng tương ứng với 3 lần chia có 3 số dư là 
10, 14, 9. 
+ Tích của số chia và chữ số hàng cao nhất của thương là 
55 – 10 = 45 
+ Tích của số chia và chữ số hàng cao thứ 2 của thương là 104 – 14 = 90. 
+ Tích của số chia và chữ số hàng cao thứ 3 của thương 114 – 9 = 135 
Trong 3 tích riêng có số 45 là số lẻ và nhỏ nhất nên số chia là số lẻ, mà số 45 chỉ chia hết cho 
số có 2 chữ số là 45. Vậy số chia là 45, thương là 123. 
Bài 8: 
Khi nhân một số tự nhiên với 2008, một học sinh đã quên viết một chữ số 0 ở số 2008 nên 
tích đúng bị giảm đi 221400 đơn vị. Tìm thừa số chưa biết. 
Hd: 
 5544 
- . 
 104 
- . 
 144 
- . 
 9 
 3 
Thừa số đã biết là 2008, nhưng đã viết sai thành 208. Thừa số này bị giảm đi 2008 – 208 = 
1800 (đvị). 
Thừa số chưa biết được giữ nguyên, thừa số đã biết bị giảm đi 1800 đơn vị thì tích bị giảm đi 
là 1800 lần thừa số chưa biết. 
Theo đề bài số giảm đi là 221400. Vậy thừa số chưa biết là 221400 : 1800 = 123. 
Bài 9: 
Tìm số tự nhiên có 2 chữ số, biết rằng nếu lấy số đó chia cho hiệu của chữ số hàng chục và 
chữ số hàng đơn vị, ta được thương là 28 dư 1. 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là ab , ( 0 a, b < 10, a 0). 
Ta có ab = (a – b) 28 + 1. 
Khi đó 0 < a – b < 4 vì nếu không thì ab không phải là số có 2 chữ số. 
Nếu a – b = 1 thì ab = 29 loại vì a không trừ được cho b. 
Nếu a – b = 2 thì ab = 57 loại vì a không trừ được cho b. 
Nếu a – b = 3 thì ab= 85 chọn vì a – b = 8 – 5 = 3. 
Bài 10: 
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 20 lần tổng các chữ số của nó. 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: abc = (a + b + c) 20. 
Vế trái có tận cùng là 0 nên vế phải có tận cùng là 0, hay c = 0. 
 Khi đ ó 10 ab = 20 (a+b) 
Suy ra ab =2(a+b) suy ra 10a+b=2a+2b 
khi đó ta có: 8 a = b suy ra a = 1, b = 8. 
Thử lại: 180 = (1 + 8 + 0) 20. 
Bài 11: 
 Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng số đó gấp 5 lần tích các chữ số của nó. 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: abc = 5 a b c. Điều này chứng tỏ 5abc , tức là c = 0 hoặc c = 5. 
Dễ thấy c = 0 vô lý ( Loại) 
Với c = 5: Ta có 5 25ab . 
Vậy suy ra b = 2 hoặc b = 7. 
Với b = 2 vô lý (Loại) 
Với b = 7: Suy ra a = 1. Số phải tìm 175. 
Bài 12: 
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu chuyển chữ số cuối lên trước chữ số đầu ta được 
số mới hơn số đã cho 765 đơn vị. 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: cab - abc = 765 
 11 c = 85 + b + 10 a 
Vì 85 + b + 10 a 95 11 c 95 c = 9 
 4 
 14 = b + 10 a a = 1, b = 4. 
Vậy số phải tìm là 149. 
Bài 13: 
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu ta xóa chữ số hàng trăm đi ta được số mới giảm đi 
7 lần so với số ban đầu. 
Hd: 
Gọi số phải tìm là abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: abc = 7 bc 
 a 100 = 6 bc 
 a 50 = 3 bc a là bội của 3 a = 3, bc = 50 
Vậy số phải tìm là 350 
Bài 14: 
Tìm số tự nhiên có 3 chữ số, biết rằng nếu ta viết số đó theo thứ tự ngược lại ta được số mới 
lớn hơn hơn số đã cho 693 đơn vị. 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là abc , ( 0 a, b, c < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: cba - abc = 693 
 99 (c – a) = 693 
 c – a = 693 : 99 = 7 
 a = 1, c = 8 ; a = 2, c = 9 và b = 0, 1, 2, , 9 
Bài 15: 
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số có chữ số hàng đơn vị là 5, biết rằng nếu chuyển chữ số 5 lên đầu 
thì ta được số mới giảm bớt đi 531 đơn vị. 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là abc5 , ( 0 a, b, c < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: abc5 - 5abc = 531 
 abc 10 + 5 - ( 5000 + abc) = 531 
 abc = 614 Vậy số phải tìm là: 6145 
Bài 16: 
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng nếu xóa chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị thì ta 
được số mới giảm đi 4455 đơn vị. 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là abcd , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: abcd - ab = 4455 
 cd = 99 ( 45 - ab ) ( 45 - ab ) = 0, ( 45 - ab ) = 1 
Nếu ( 45 - ab ) = 0: Số phải tìm là 4500 
Nếu ( 45 - ab ) = 1: Số phải tìm là 4499 
Bài 17: 
Tìm số tự nhiên có 4 chữ số, biết rằng nếu viết số đó theo thứ tự ngược lại thì ta được số mới 
gấp 4 lần số ban đầu. 
 5 
 Hd: 
Gọi số phải tìm là abcd , ( 0 a, b, c, d < 10, a 0). 
Theo bài ra ta có: abcd 4 = dcba 
 a = 1 hoặc a = 2 vì nếu a 3 thì tích abcd 4 không là số có 4 chữ số 
 Nếu a = 1: Ta có 1bcd 4 = dcb1 đây là điều vô lý. 
Nếu a = 2: Ta có 2bcd 4 = dcb2 4 d có tận cùng là 2 
 d = 3 hoặc d = 8. 
 Nếu d = 3: Ta có 2bc3 4 > 3cb2 là vô lý 
 Nếu d = 8: Ta có 2bc8 4 = 8cb2 390 b + 30 = 60 c 
 39 b + 3 = 6 c b = 1, c = 7 
 Vậy số phải tìm là: 2178 
Bài 18: 
Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng 
đơn vị thì ta được số mới gấp 7 lần số ban đầu. 
 Hd: 
Vì số phải tìm có chữ số hàng chục và chữ số hàng đơn vị nên nó ít nhất phải là số có 2 chữ 
số. Vậy gọi số phải tìm là Ab , ( 0 b 0). 
Theo bài ra ta có: Ab 7 = A0b 
 b 6 = A 5 6 b = A 5 b = 5 (Vì A > 0) A = 1. Số phải tìm là 15. 
 Bài 19: 
Tìm số tự nhiên biết rằng nếu viết thêm chữ số 0 vào giữa chữ số hàng chục và chữ số hàng 
trăm thì ta được số mới gấp 6 lần số ban đầu. 
 Hd: 
Vì số phải tìm có chữ số hàng chục và chữ số hàng trăm nên nó ít nhất phải là số có 3 chữ số. 
Vậy gọi số phải tìm là Abc , ( 0 b, c 0). 
Theo bài ra ta có: Abc 6 = A0bc 
 bc 5 = A 80 5 bc = A 80 bc = 80 (Vì A > 0) A = 1. 
Số phải tìm là 180. 
 6 
§ 2. DÃY SỐ CÁCH ĐỀU 
Bài 1: 
Cho dãy số 2, 4, 6, 8, ..., 2006. 
a) Dãy này có bao nhiêu số hạng? Số hạng thứ 190 là số hạng nào? 
b) Chữ số thứ 100 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
 Hd: 
 a) Số các số hạng: (2006 – 2) : 2 + 1 = 1003. 
Số hạng thứ 190 là: (190 – 1) 2 + 2 = 380 
b) Dãy số 2, 4, 6, , 98 có 4 + [(98 – 10) : 2 + 1] 2 = 94 chữ số. 
Vì 94 < 100 nên chữ số thứ 100 phải nằm trong dãy số 100, 102, 104, , 998. 
Chữ số thứ 100 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số thứ 100 – 94 = 6 của dãy số 100, 
102, 104, , 998. Vậy chữ số thứ 100 là chữ số 2. 
Bài 2: 
 Cho dãy số 11, 13, 15, ..., 175. 
a) Tính số chữ số đã dùng để viết tất cả các số hạng của dãy số đã cho. Chữ số thứ 136 được 
dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
b) Tính tổng các số hạng của dãy số đã cho. 
 Hd: 
a) Dãy số 11, 13, , 99 có [(99 – 11) : 2 + 1] 2 = 90 chữ số. Dãy số 101, 103, , 175 có 
[(175 – 101) : 2 + 1] x 3 = 114 chữ số. Số các chữ số đã sử dụng trong dãy đã cho là: 90 + 
114 = 204 (chữ số) 
+ Vì 204 > 136 > 90 nên chữ số thứ 136 phải nằm trong dãy số 101, 103, ,175. Chữ số thứ 
136 của dãy số 11, 13, 15,..., 175 là chữ số thứ 136 – 90 = 46 của dãy số 101, 103, , 175. 
+ Ta có: 46 : 3 = 15 (dư 1). 
+ Tìm được số hạng thứ 16 của dãy số 101, 103, , 175 là 131. 
Vậy chữ số thứ 136 của dãy đã cho là 1. 
b) Số số hạng của dãy số đã cho là 45 + 38 = 83. 
Vậy suy ra:11 + 13 + 15 + + 175 = (11 + 175) 83 : 2 = 7719 
Bài 3: 
 Cho dãy số 4, 8, 12, 16, ... 
a) Xét xem các số 2002 và 2008 có thuộc dãy số đã cho không? Nếu nó thuộc thì cho biết số 
thứ tự trong dãy của nó. 
b) Chữ số thứ 74 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
 Hd: 
a) Đặc điểm của dãy số đã cho là các số hạng của dãy đều chia hết cho 4. Số 2002 không chia 
hết cho 4 nên không thuộc dãy số đã cho. Số 2008 chia hết cho 4 nên thuộc dãy số đã cho. 
Số thứ tự trong dãy của số 2008 là (2008 – 4) : 4 + 1 = 502. 
b) Trong dãy 12, 16, 20, , 96 có [(96 – 12) : 4 + 1] × 2 = 44 chữ số. Vậy chữ số thứ 74 của 
dãy số đã cho là chữ số thứ 74 – 2 – 22 × 2 = 28 của dãy số 100, 104, 108, 
Ta có 28 : 4 = 7 nên chữ số thứ 28 của dãy số 100, 104, 108, là chữ số cuối cùng của số 
hạng thứ 7 của dãy số 100, 104, 108, Chữ số cần tìm là 4. 
Bài 4: 
Cho dãy số 11, 14, 17, 20, 
a) Chữ số thứ 166 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
b) Tính tổng của 130 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. 
 Hd: 
a) Dãy số 11, 14, 17, , 98 có số chữ số là: [(98 – 11) : 3 + 1] × 2 = 60 . 
 7 
Dãy số 101, 104, 107, , 998 có số chữ số là: [(998 – 101) : 3 + 1] × 3 = 900. 
Vì 60 < 166 < 900 nên chữ số thứ 166 phải nằm trong dãy số 101, 104, , 998. 
Chữ số thứ 166 của dãy số đã cho là chữ số thứ 166 – 60 = 106 của dãy số 101, 104, , 
998. 
Ta có: 106 : 3 = 35 (dư 1) nên chữ số thứ 166 của dãy số đã cho là chữ số đầu tiên của số 
hạng thứ 36 trong dãy số 101, 104, , 998. 
Số hạng thứ 36 trong dãy số101, 104, , 998 là 206. Vậy chữ số cần tìm là 2. 
b) Số hạng thứ 130 là 398. Vậy tổng là (11 + 398) × 100 : 2 = 20450. 
Bài 5: 
Cho dãy số 1, 3, 5, 7, ..., 2009. 
a) Dãy này có bao nhiêu số hạng? Số hạng thứ 230 là số hạng nào? 
b) Chữ số thứ 100 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
 Hd: 
a) Số các số hạng: (2009 – 1) : 2 + 1 = 1005. 
Số hạng thứ 230 là: (230 – 1) 2 + 1 = 459 
b) Chữ số thứ 100 là chữ số 0. 
Bài 6: 
Cho dãy số 10, 12, 14,..., 138. 
a) Chữ số thứ 103 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
b) Tính tổng các số hạng của dãy số đã cho. 
 Hd: 
a) Số các chữ số được sử dụng trong dãy 10, 12, 96, 98 là 2 45 = 90 (chữ số). 
Vì 103 > 90 nên chữ số thứ 103 của dãy số đã cho phải nằm trong dãy số 100, 102, , 138. 
Chữ số thứ 103 của dãy số đã cho là chữ số thứ 103 – 90 = 13 của dãy số 100, 102, , 138. 
+ Ta có: 13 : 3 = 4 (dư 1) nên chữ số thứ 103 của dãy số đã cho là chữ số đầu tiên của số 
hạng thứ 5 trong dãy số 100, 102, , 138. 
Số hạng thứ 5 trong dãy số100, 102, , 138 là 108. Vậy chữ số cần tìm là 1. 
b) Số các số hạng của dãy là (138 – 10) : 2 + 1 = 65 
Vậy 10 + 12 + 14 + + 138 = (10 + 138) 65 : 2 = 4810. 
Bài 7: 
Cho dãy số 101, 102, 103, , 1000, 1001, ..., 2005 
a) Dãy này có bao nhiêu số hạng? Số hạng thứ 75 là số hạng nào? 
b) Tính số chữ số đã dùng để viết tất cả các số hạng của dãy số đã cho. Chữ số thứ 116 được 
dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
Hd: 
a) Số số hạng là (2005 – 101) : 1 + 1 = 1905. 
Số hạng thứ 75 là (75 – 1) × 1 + 101 = 175. 
b) Số chữ số là 899 × 3 + 1006 × 4 = 8721. 
Vì có: 116 < 899 3 nên chữ số thứ 116 thuộc dãy số 101, 102, 999. 
Ta oó 116 : 3 = 38 (dư 2) nên chữ số thứ 116 là chữ số thứ 2 của số hạng thứ 39 của dãy số đã 
cho. Số hạng thứ 39 là (39 – 1) 1 + 101 = 139. Vậy chữ số cần tìm là chữ số 3. 
 8 
Bài 8: 
Cho dãy số 11, 16, 21, 26, 31, ... 
a) Tính số chữ số đã dùng để viết các số hạng của dãy số đã cho kể từ số hạng đầu tiên đến 
số hạng 2001. Chữ số thứ 124 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
b) Tính tổng của 203 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. 
 Hd: 
a) [(96 – 11) : 5 + 1] 2 + [(996 – 101) : 5 + 1] 3] + 1 4 = 18 2 + 180 3 + 1 4 = 
580. 
Ta có 18 2 < 124 < 180 3 nên chữ số thứ 124 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 106, , 
996. 
Chữ số thứ 124 của dãy số đã cho là chữ số thứ 124 – 18 2 = 88 của dãy số 101, 106, , 
996. 
Ta có 88 : 3 = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 106, , 996 là chữ số thứ 1 của số 
hạng thứ 30 của dãy số 101, 106, , 996. Số hạng thứ 30 là (30 – 1) 5 + 101 = 246. Vậy chữ số 
cần tìm là chữ số 2. 
b) Số hạng thứ 203 là (203 – 1) 5 + 11 = 1021. 
Tổng là (11 + 1021) 203 : 2 = 104748. 
Bài 9: 
Cho dãy số 2, 5, 8, 11, , 2009. 
a) Dãy này có bao nhiêu số hạng? Số hạng thứ 99 là số hạng nào? 
b) Chữ số thứ 50 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
 Hd: 
a) Số các số hạng: (2009 – 2) : 3 + 1 = 670. 
Số hạng thứ 99 là: (99 – 1) 3 + 2 = 296. 
b) Dãy số 2, 5, 8 có 3 chữ số. Dãy số 11, 14, 17, , 98 có [(98 – 11) : 3 + 1] 2 = 60 chữ số. 
Có 3 < 50 < 60 nên chữ số thứ 50 của dãy số đã cho thuộc dãy số 11, 14, 17, , 98. 
Chữ số thứ 50 của dãy số đã cho là chữ số thứ 50 – 3 = 47 của dãy số 11, 14, 17, , 98. 
Ta có 47 : 2 = 23 (dư 1) nên chữ số thứ 47 dãy số 11, 14, 17, , 98 là chữ số thứ 1 của số 
hạng thứ 24 của dãy số 11, 14, 17, , 98. Số hạng thứ 24 là (24 – 1) 3 + 11 = 80. Vậy chữ số cần 
tìm là chữ số 8. 
Bài 10: 
Cho dãy số 1, 5, 9, 13, 
a) Chữ số thứ 135 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
b) Tính tổng của 200 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho. 
 Hd: 
a) Dãy số 1, 5, 9, 13, 17, 21, , 97 có 3 + [(97 – 13) : 4 + 1] 2 = 47 chữ số. Dãy số 101, 
105, 109, , 997 có [(997 – 101) : 4 + 1] 3 = 675 chữ số. Vì 47 < 135 < 675 nên chữ số thứ 135 
phải nằm trong dãy số 101, 105, , 997. 
Chữ số thứ 135 của dãy số 101, 105, , 997 là chữ số thứ 135 – 47 = 88 của dãy số 101, 
105, , 997. 
 9 
Ta có: 88 : 3 = 29 (dư 1) nên chữ số thứ 88 dãy số 101, 105, , 997 là chữ số thứ 1 của số 
hạng thứ 30 của dãy số 101, 105, , 997. Số hạng thứ 30 là (30 – 1) 4 + 101 = 217. Vậy chữ số 
cần tìm là chữ số 2. 
b) Số hạng thứ 200 là (200 – 1) 4 + 1 = 797. 
Tổng là (1 + 797) 200 : 2 = 79800. 
Bài 11: 
Cho dãy số 5, 8, 11, 
a) Tính tổng của 205 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho? 
b) Chữ số thứ 135 được dùng để viết dãy số đã cho là chữ số nào? 
 Hd: 
 a) Số hạng thứ 204 trong dãy số là: [(204 – 1) 3] + 5 = 620 
 Tổng của 204 số hạng đầu của dãy: (620 + 5) 102 = 62500 + 1250 = 63750 
Tổng của 204 số hạng đầu của dãy: 63750 + 623 = 64373 
 b) Số có 1 chữ số trong dãy là: (8 – 5) : 3 + 1 = 2 
 Số có 2 chữ số trong dãy là: (98 – 11) : 3 + 1 = 30 
Số có 3 chữ số trong dãy là: (998 – 111) : 3 + 1 = 330 
Ta có 2 1 + 30 2 < 135 < 330 3 nên chữ số thứ 135 thuộc dãy số có ba chữ số 101, 
104, , 998. 
Chữ số thứ 135 của dãy số đã cho là chữ số thứ 135 – 30 2 - 2 = 63 của dãy số 101, 104, 
 , 998. 
Ta có 63 : 3 = 21 (dư 0) nên chữ số thứ 63 dãy số 101, 104, , 998 là chữ số thứ 3 của số 
hạng thứ 21 của dãy số 101, 104, , 998. Số hạng thứ 21 là (21 – 1) 3 + 101 = 161. Vậy chữ số 
cần tìm là chữ số 1 
Bài 12: 
 Tính tổng S = 10, 11 + 11, 12 + 12, 13 + .. + 98, 99 + 99, 100 
 Hd: 
 S = (10 + 11 + 12 + .. + 98 + 99) + (0, 10 + 0, 11 + 0, 12 + .. + 0, 98 + 0, 99) 
 = [(99 100) : 2 – (9 10) : 2] + [(99 100) : 2 – (9 10) : 2 : 100] 
 = 4905 + 49, 05 
 = 4954, 05 
Bài 13: 
 Tính tổng S = 1 – 2 + 3 – 4 + - 1000 + 1001 
 Hd: 
 S = 1 + (3 – 2) + (5 - 4) + + (1001 – 1000) 
 = 1 + 1 + 1 + + 1 
 = 1 + [(1001 – 2) : 1 + 1] : 2 = 501 
Bài 14: 
Cho dãy số 1
3
, 23
3
, 7, 110
3
, 
a) Xác định số hạng thứ 2009 của dãy số đã cho? 
b) Trong 2009 số hạng đầu của dãy có bao nhiêu số tự nhiên? Tính tổng của tất cả các số tự 
nhiên đó? 
 Hd: 
 10 
a) Ta thấy dãy số trên là dãy số cách đều với khoảng cách d = 10
3
Vậy số hạng thứ 2009 trong dãy số trên là: 10 1 20081(2009 - 1) + = 
3 3 3
b) Số hạng thứ 2007 trong dãy số trên là: 10 1(2007 - 1) + = 669
3 3
Dãy số tự nhiên có trong 2009 số hạng đầu của dãy là: 7, 17, 27, , 669 
Từ đây dễ dàng suy ra kết quả với dãy số tự nhiên cách đều 
Bài 15: 
 a) Tìm x biết: 
 (x + 1) + (x + 4) + (x + 7) + + (x + 28) = 155 
 b) Tính tổng: 
 S = 9, 8 + 8, 7 + + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 - .. – 7, 8 – 8, 9 
 Hd: 
 a) Ta có: 
 x + 1 + x + 4 + x + 7 + + x + 28 = 155 
 (x + x + .. + x) + (1 + 4 + 7 + .. + 28) = 155 
 10 x + 145 = 155 
 x = 1 
 b) Ta có: 
 S = 9, 8 + 8, 7 + + 2, 1 – 1, 2 – 2, 3 - .. – 7, 8 – 8, 9 
 = (2, 1 – 1, 2) + (3, 2 – 2, 3) + .. (8, 7 – 7, 8) + (9, 8 – 8, 9) 
 = 1, 1 8 = 8, 8 
 11 
§ 3. TOÁN VỀ TUỔI 
Bài 1: 
Năm nay, tuổi cô gấp 8 lần tuổi cháu. Mười hai năm sau, tuổi cô gấp 2, 4 lần tuổi cháu. Tính 
tuổi của hai cô cháu hiện 
nay. 
 Hd: 
Hiệu số tuổi của hai cô cháu hiện nay là: 8 – 1 = 7 (lần tuổi cháu hiện nay) 
Hiệu số tuổi của hai cô cháu khi tuổi cô gấp 2, 4 lần tuổi cháu là 2, 4 – 1 = 1, 4 (lần tuổi cháu 
lúc đó) 
Vì hiệu số tuổi của 2 cô cháu không thay đổi theo thời gian nên: 7 lần tuổi cháu hiện nay = 1, 
4 lần tuổi cháu lúc đó. 
 Hay cách khác: 1lần tuổi cháu hiện nay = 0, 2 lần tuổi cháu lúc đó 
Ta có sơ đồ: 
Tuổi cháu hiện nay là 12 : (5 – 1) 1 = 3 (tuổi) 
Tuổi cô hiện nay là 3 8 = 24 (tuổi) 
Bài 2: 
Hiện nay tuổi cha gấp 5 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 17 lần tuổi con.Tính tuổi 
của cha và của con hiện nay. 
 Hd: 
Hiệu số tuổi của hai cha con hiện nay là: 5 – 1 = 4 (lần tuổi con hiện nay) 
Hiệu số tuổi của hai cha con khi tuổi cha gấp 17 lần tuổi con là 17 – 1 = 16 (lần tuổi con lúc 
đó) 
Vì hiệu số tuổi của 2 cha con không thay đổi theo thời gian nên: 4 lần tuổi con hiện nay = 16 
lần tuổi con khi đó. 
Hay cách khác: 1lần tuổi con hiện nay = 4 lần tuổi con lúc đó 
Ta có sơ đồ: 
Tuổi con hiện nay là: 6 : (4 – 1) 4 = 8 (tuổi) 
Tuổi cô hiện nay là : 8 5 = 40 (tuổi) 
Bài 3: 
Năm nay tuổi của 2 cha con cộng lại bằng 36. Đến khi tuổi con bằng tuổi cha hiện nay thì 
tuổi con bằng 
5
9
 tuổi cha lúc đó. Tìm tuổi 2 cha con hiện nay. 
Hd: 
Nếu coi tuổi con sau này là 5 phần thì tuổi cha sau này là 9 phần như thế. Khi đó hiệu số tuổi 
của 2 cha con là 9 – 5 = 4 (phần) 
Tuổi cháu hiện nay: 
Tuổi cháu sau 12 năm: 
Tuổi con hiện nay: 
Tuổi con trước 6 năm: 
 12 
Vì hiện nay tuổi cha bằng tuổi con sau này nên hiện nay tuổi cha chiếm 5 phần mà hiệu số 
tuổi của 2 cha con không thay đổi theo thời gian (hiệu là 4 phần) nên số phần tuổi con là 5 – 4 = 
1(phần). Do đó hiện nay số phần tuổi của 2 cha con là 5 + 1 = 6 (phần) 
Ta có sơ đồ: 
Vậy tuổi con hiện nay là 36 : 6 = 6 (tuổi). 
Tuổi cha hiện nay là 36 – 6 = 30 (tuổi). 
Bài 4: 
Năm nay, tuổi bố gấp 2,2 lần tuổi con. Hai mươi lăm năm về trước, tuổi bố gấp 8,2 lần tuổi 
con. Hỏi khi tuổi bố gấp 3 lần tuổi con thì con bao nhiêu tuổi? 
 Hd: 
Tuổi bố hiện nay hơn tuổi con số lần là: 2, 2 – 1 = 1,2 (lần tuổi con hiện nay). 
Tuổi bố cách đây 25 năm hơn tuổi con số lần là 8, 2 – 1 = 7,2 (lần tuổi con lúc đó). 
Vậy ta suy ra: 1,2 lần tuổi con hiện nay = 7,2 lần tuổi con lúc đó. 
Tuổi con hiện nay gấp tuổi con 25 năm trước số lần là: 7,2 : 1,2 = 6 (lần). 
Ta có sơ đồ: 
Tuổi con hiện nay là: 25 : (6 – 1) 6 = 30 (tuổi). 
Tuổi bố hiện nay là : 30 2,2 = 66 (tuổi). 
Hiệu số tuổi của 2 bố con hiên nay là: 66 – 30 = 36 (tuổi) 
Ta có hiệu số tuổi của 2 bố con khi tuổ khi bố gấp 3 lần tuổi con là 2 lần tuổi con khi đó. Do 
đó 2 lần tuổi con sau này = 36 tuổi 
Vậy tuổi con khi đó là: 36 : 2 = 18 (tuổi) 
Bài 5: 
Hiện nay tuổi cha gấp 4 lần tuổi con. Trước đây 6 năm tuổi cha gấp 13 lần tuổi con. Tính tuổi 
của cha và của con hiện nay 
 Hd: 
 Ta có: Hiệu số tuổi của 2 cha con hiên nay là 3 lần tuổi con hiện nay 
Hiệu số tuổi của 2 cha con trước đây 6 năm là 12 lần tuổi con khi đó 
 Vậy: 3 lần tuổi con hiện nay = 12 lần tuổi con trước đây. 
Ta có sơ đồ: 
Tuổi con trước đây là 6 : (4 – 1) 1 = 2 (tuổi) 
Tuổi con hiện nay: 
Tuổi con trước đây: 
25 
 Tuổi cha sau này: 
36 tuổi Tuổi cha hiện nay: 
Tuổi con sau này: 
Tuổi con hiện nay: 
6 
Tuổi con trước đây: 
Tuổi con hiện nay: 
 13 
Tuổi con hiện nay là: 2 + 6 = 8 (tuổi) 
Tuổi cha hiện nay là : 8 4 = 32 (tuổi). 
Bài 6: 
Tuổi bà năm nay gấp 4,2 lần tuổi cháu. Mười năm về trước, tuổi bà gấp 10,6 lần tuổi cháu. 
Tính tuổi bà và tuổi cháu hiện nay. 
 Hd: 
Vì hiệu số tuổi của hai bà cháu không thay đổi theo thời gian nên 3,2 lần tuổi cháu hiện nay = 
9,6 lần tuổi cháu 10 năm trước. 
Hay tuổi cháu hiện nay = 3 lần tuổi cháu 10 năm trước. 
Vậy tuổi cháu hiện nay là: (10 : 2) 3 = 15 (tuổi). 
Tuổi bà hiện nay là :15 4,2 = 63 (tuổi) 
Bài 7: 
Năm nay, tuổi bác gấp 3 lần tuổi cháu. Mười lăm năm về trước, tuổi bác gấp 9 lần tuổi cháu. 
Hỏi khi tuổi bác gấp 2 lần tuổi cháu thì cháu bao nhiêu tuổi? 
 Hd: 
Tuổi bác hiện nay hơn tuổi cháu số lần là: 3 – 1 = 2 (lần tuổi cháu hiện nay). 
Tuổi bác cách đây 15 năm hơn tuổi cháu số lần là 9 – 1 = 8 (lần tuổi cháu lúc đó). 
Vậy suy ra: 2 lần tuổi cháu hiện nay = 8 lần tuổi cháu lúc đó. 
Hay: 1 lần tuổi cháu hiện nay = 4 lần tuổi cháu lúc đó. 
Tuổi cháu hiện nay là: 15 : (4 – 1) 4 = 20 (tuổi). 
Tuổi bác hiện nay là: 20 3 = 60 (tuổi). 
Khi tuổi bác gấp 2 lần tuổi cháu thì tuổi cháu là: 40 : 2 1 = 40 (tuổi). 
Bài 8: 
Năm nay, tuổi mẹ gấp 2,5 lần tuổi con. Nhưng 6 về trước, tuổi mẹ gấp 4 lần tuổi con. Tính 
tuổi của 2 mẹ con hiện nay? 
 Hd: 
Hiệu số tuổi của 2 mẹ con hiện nay là: 2,5 – 1, 5 = 1,5 (lần tuổi con hiện nay). 
Hiệu số tuổi của 2 mẹ con trước đây 6 năm là: 4 – 1 = 3 (lần tuổi con lúc đó). 
Vậy suy ra: 1, 5 lần tuổi con hiện nay = 3 lần tuổi con trước đây. 
Hay: 1 lần tuổi cháu hiện nay = 2 lần tuổi cháu lúc đó. 
Ta có sơ đồ: 
Tuổi con hiện nay là: 6 : (2 – 1) 2 = 12 (tuổi). 
Tuổi mẹ hiện nay là: 12 2,5 = 30 (tuổi). 
Bài 9: 
 Năm nay anh 27 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của anh bằng tuổi của em hiện nay thì tuổi của 
anh chỉ bằng nửa tuổi của anh khi đó. Tính tuổi của em hiện nay? 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Tuổi của anh trước đây gấp 2 lần tuổi của em trước đây 
 Tuổi của em hiện nay gấp 2 lần tuổi của em trước đây 
6 
Tuổi con trước đây: 
Tuổi con hiện nay: 
 14 
 Hiệu số tuổi của 2 anh em trước đây tuổi bằng 1 lần tuổi của em trước đây. Mà hiệu số 
tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của anh hiện nay gấp (2 + 1) lần tuổi của em trước đây. 
Do đó có sơ đồ sau: 
Tuổi của em hiện nay là: 27 : 3 2 = 18 (tuổi) 
Bài 10: 
 Hiện nay tổng số tuổi của 2 anh và em là 20 tuổi. Biết rằng tuổi của em hiện nay gấp 2 lần 
tuổi của em khi anh bằng tuổi em hiện nay. Tính tuổi 2 người hiện nay? 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Tuổi của em hiện nay gấp 2 lần tuổi của em trước đây 
Tuổi của anh trước đây gấp 2 lần tuổi của em trước đây 
 Hiệu số tuổi của 2 anh em trước đây tuổi bằng 1 lần tuổi của em trước đây. Mà hiệu số 
tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của anh hiện nay gấp (2 + 1) lần tuổi của em trước đây. 
Do đó có sơ đồ sau: 
 Tuổi của em hiện nay là: 20 : (3 + 2) 2 = 8 (tuổi) 
 Tuổi của anh hiện nay là: 20 – 8 = 12 (tuổi) 
Bài 11: 
 Hiện nay tổng số tuổi của 2 anh và em là 15 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của anh 
hiện nay thì tuổi của anh gấp 1,5 lần tuổi của em khi đó. Tính tuổi 2 người hiện nay? 
 Hd: 
 Theo đề bài ra ta có: 
 Tuổi của anh sau này gấp 1,5 lần tuổi của em sau này 
 Tuổi của anh hiện nay bằng tuổi của em sau này 
 Hiệu số tuổi của 2 anh em sau này tuổi bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Mà hiệu số 
tuổi của 2 người không đổi nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Do 
đó có sơ đồ sau: 
 Tuổi của em hiện nay là: 15 : (1 + 2) 2 = 6 (tuổi) 
 Tuổi của anh hiện nay là: 15 – 6 = 9 (tuổi) 
Bài 12: 
 Hiện nay An nhiều hơn Bình 14 tuổi. Tính tuổi của 2 người hiện nay, biết rằng khi tuổi của Bình 
bằng tuổi của An hiện nay thì tuổi của An bằng 
3
5 lần tuổi của Bình khi đó. 
 Hd: 
Theo bài ra ta có: 
Tuổi em trước đây: 
Tuổi anh trước đây: 
Tuổi em hiện nay: 
Tuổi anh hiện nay: 
27 
Tuổi em trước đây: 
Tuổi anh trước đây: 
Tuổi em hiện nay: 
Tuổi anh hiện nay: 20 
Tuổi em hiện nay: 
Tuổi anh hiện nay: 
Tuổi em sau này: 
Tuổi anh sau này: 
15 
 15 
 Tuổi của An sau này bằng 
3
5 lần tuổi của Bình sau này 
 Hiệu số tuổi của 2 người sau này bằng 5 2 - 1 = 
3 3
 lần tuổi của Bình sau này 
 Tuổi của An hiện nay bằng 1 lần tuổi của Bình sau này 
 Suy ta tuổi của Bình hiện nay bằng 2 11 - = 
3 3
 lần tuổi của Bình sau này 
 Vậy ta có sơ đồ như sau: 
 Theo sơ đồ trên ta có: 
 Tuổi của An hiện nay là: 14 : (3 – 1) × 3 = 21 (tuổi) 
 Tuổi của Bình hiện nay là: 14 : (3 – 1) × 1 = 7 (tuổi) 
Bài 13: 
 Hiện nay Hùng nhiều hơn Minh 12 tuổi. Tính tuổi của 2 người hiện nay, biết rằng khi tuổi 
của Minh bằng tuổi của Hùng hiện nay thì tuổi của Minh bằng 
5
3
 lần tuổi của Hùng khi đó. 
 Hd: 
Theo bài ra ta có: 
 Tuổi của Hùng sau này bằng 
3
5 lần tuổi của Minh sau này 
 Hiệu số tuổi của 2 người sau này bằng 5 2 - 1 = 
3 3
 lần tuổi của Minh sau này 
 Tuổi của Hùng hiện nay bằng 1 lần tuổi của Minh sau này 
 Suy ta tuổi của Minh hiện nay bằng 2 11 - = 
3 3
 lần tuổi của Minh sau này 
 Vậy ta có sơ đồ như sau: 
 Theo sơ đồ trên ta có: 
 Tuổi của Hùng hiện nay là: 12 : (3 – 1) × 3 = 18 (tuổi) 
 Tuổi của Minh hiện nay là: 12 : (3 – 1) × 1 = 6 (tuổi) 
Bài 14: 
 Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con và tổng số tuổi của 2 bố con là 50 tuổi. Hỏi sau 
bao nhiêu năm nữa tuổi bố gấp 2 lần tuổi con? 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Tuổi của bố hiện nay là: 50 : (4 + 1) × 4 = 40 (tuổi) 
Tuổi của con hiện nay là: 50 : (4 + 1) × 1 = 10 (tuổi) 
 Hiệu số tuổi của 2 bố con hiện nay là 40 – 10 = 30 (tuổi) 
Tuổi Bình hiện nay: 
Tuổi An hiện nay: 
Tuổi Bình sau này: 
Tuổi An sau này: 
14 
Tuổi Minh hiện nay: 
Tuổi Hùng hiện nay: 
Tuổi Minh sau này: 
Tuổi Hùng sau này: 
12 
 16 
 Hiệu số tuổi của 2 bố con sau này bằng 1 lần tuổi của con sau này 
 Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên suy ra: 1 lần tuổi của con 
sau này bằng 30 tuổi. Do đó có sơ đồ về mối quan hệ giữa tuổi con hiện nay và sau này như sau: 
 Tuổi của con hiện nay là: 20 : (3 - 1) 1 = 10 (tuổi) 
 Vậy số năm sau đó để tuổi bố gấp 2 lần tuổi con là: 30 – 10 = 20 (năm) 
Bài 15: 
 Hiện nay tuổi của bố gấp 4 lần tuổi của con và sau 20 năm nữa tuổi của bố gấp 2 lần tuổi con. 
Tính tuổi của hai bố con hiện nay? 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Hiệu số tuổi của 2 bố con hiện nay bằng 3 lần tuổi của con hiện nay 
 Hiệu số tuổi của 2 bố con sau 20 năm bằng 1 lần tuổi của con khi đó 
 Mà hiệu số tuổi của 2 người không đổi theo thời gian nên suy ra: 3 lần tuổi của con 
hiện nay bằng 1 lần tuổi của con sau 20 năm. Do đó có sơ đồ về mối quan hệ giữa tuổi con hiện nay 
và sau này như sau: 
 Tuổi của con hiện nay là: 20 : (3 - 1) 1 = 10 (tuổi) 
 Tuổi của bố hiện nay là: 10 × 4 = 40 (tuổi) 
 Bài 16: 
 Hiện nay tổng số tuổi của 2 bố con là 50 tuổi gấp và biết rằng sau 20 năm nữa tuổi của bố gấp 
2 lần tuổi con. Tính tuổi của hai bố con hiện nay? 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Tổng số tuổi của 2 bố con hiện nay bằng 50 tuổi 
 Vậy tổng số tuổi của 2 bố con sau 20 năm là: 
 2 × 20 + 50 = 90 (tuổi) 
 Mà sau 20 năm tuổi bố gấp 2 lần tuổi con. Như vậy ta đã đưa bài toán về dạng toán 
tìm 2 số khi biết tổng bằng 90 và tỷ số là 1
2
. Do đó ta tính được tuổi con sau 20 năm như sau: 
 Tuổi của con sau 20 năm là: 
 90 tuổi : ( 2 + 1) × 1 = 30 (tuổi) 
 Tuổi của con hiện nay là: 30 - 20 = 10 (tuổi) 
 Tuổi của bố hiện nay là: 50 - 10 = 40 (tuổi) 
Bài 17: 
 Hiện nay chị hơn em 7 tuổi. Biết rằng khi tuổi của em bằng tuổi của chị hiện nay thì tuổi của 
chị gấp 1,5 lần tuổi của em khi đó. Tính tuổi 2 người hiện nay? 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Tuổi của chi sau này gấp 1,5 lần tuổi của em sau này 
 Tuổi của chị hiện nay bằng tuổi của em sau này 
Tuổi con hiện nay: 
Tuổi con sau 20 năm: 
20 năm 
 17 
 Hiệu số tuổi của 2 chị em sau này tuổi bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Mà hiệu số 
tuổi của 2 người không đổi, nên suy ra: Tuổi của em hiện nay bằng 0,5 lần tuổi của em sau này. Do 
đó có sơ đồ sau: 
 Tuổi của em hiện nay là: 7 : (2 - 1) 1 = 7 (tuổi) 
 Tuổi của anh hiện nay là: 7 + 7 = 14 (tuổi) 
Bài 18: 
Năm nay chị 25 tuổi. Biết rằng năm mà tuổi của chị bằng tuổi của em hiện nay thì tuổi của 
em chỉ bằng 1
3
 tuổi của chị khi đó. Tính tuổi của em hiện nay? 
 Hd: 
 Theo bài ra ta có: 
 Tuổi của chị trước đây gấp 3 lần tuổi của em trước đây 
 Tuổi của em hiện nay gấp 3 lần tuổi của em trước đây 
 Hiệu số tuổi của 2